| รหัสโครงการ : | R000000690 |
| ชื่อโครงการ (ภาษาไทย) : | การศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ |
| ชื่อโครงการ (ภาษาอังกฤษ) : | Study of the algebraic structure of the minimum isolated gap in two-dimensional numerical semigroups |
| คำสำคัญของโครงการ(Keyword) : | กึ่งกรุปเชิงตัวเลข, ช่องว่างเอกเทศ, ช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุด, ขั้นตอนวิธีการหาร, ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน |
| หน่วยงานเจ้าของโครงการ : | คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี |
| ลักษณะโครงการวิจัย : | โครงการวิจัยเดี่ยว |
| ลักษณะย่อยโครงการวิจัย : | ไม่อยู่ภายใต้แผนงานวิจัย/ชุดโครงการวิจัย |
| ประเภทโครงการ : | โครงการวิจัยใหม่ |
| สถานะของโครงการ : | propersal |
| งบประมาณที่เสนอขอ : | 100000 |
| งบประมาณทั้งโครงการ : | 100,000.00 บาท |
| วันเริ่มต้นโครงการ : | 08 พฤษภาคม 2568 |
| วันสิ้นสุดโครงการ : | 07 พฤษภาคม 2569 |
| ประเภทของโครงการ : | งานวิจัยพื้นฐาน(ทฤษฎี)/บริสุทธิ์ |
| กลุ่มสาขาวิชาการ : | วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ |
| สาขาวิชาการ : | สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตสาศตร์ |
| กลุ่มวิชาการ : | คณิตศาสตร์ |
| ลักษณะโครงการวิจัย : | ไม่ระบุ |
| สะท้อนถึงการใช้ความรู้เชิงอัตลักษณ์ : | ไม่สะท้อนถึงการใช้ความรู้เชิงอัตลักษณ์ |
| สร้างความร่วมมือประหว่างประเทศ GMS : | ไม่สร้างความร่วมมือทางการวิจัยระหว่างประเทศ |
| นำไปใช้ในการพัฒนาคุณภาพการศึกษา : | นำไปใช้ประโยชน์ในการพัฒนาณภาพการศึกษา |
| เกิดจากความร่วมมือกับภาคการผลิต : | ไม่เกิดจากความร่วมมือกับภาคการผลิต |
| ความสำคัญและที่มาของปัญหา : | สําหรับ N กําหนดให้ < A > เซตก่อกําเนิด (generating set) โดย A ในปี ค.ศ. 2009 Rosales และ Garca-Snchez พิสูจน์ว่า เซต A เป็น
กึ่งกรุปเชิงตัวเลข ก็ต่อเมื่อ ห.ร.ม.(A)=1 ถ้า S เป็นกึ่งกรุปเชิงตัวเลข โดยที่ S = < A > แล้วจะเรียก A ว่า ตัวก่อกําเนิดของระบบ (system of
generator) ของ S อย่างไรก็ตาม ถ้า S ไม่เท่ากับ < B > สําหรับทุกเซตย่อย B ของ A แล้ว A จะถูกเรียกว่า ตัวก่อกําเนิดของระบบที่เล็กสุด
(minimal system of generator) ของ S และ Rosales และ Garca-Snchez [5] พิสูจน์ว่า สําหรับทุกกึ่งกรุปเชิงตัวเลขมีตัวก่อกําเนิดของระบบที่
เล็กสุดเพียงตัวเดียวเท่านั้นและเป็นเซตจํากัด ซึ่งจะเรียกจํานวนสมาชิกของตัวก่อกําเนิดของระบบที่เล็กสุดว่า มิติการฝัง (embedding dimension)
ของ S ให้ S เป็นกึ่งกรุปเชิงตัวเลข จะกล่าวว่าสมาชิก a ของ N เป็น ช่องว่าง (gap) ของ S ก็ต่อเมื่อ a ไม่เป็นสมาชิกของ S และจะกล่าวว่าช่องว่าง a
ของ S เป็น ช่องว่างเอกเทศ (isolated gap) ก็ต่อเมื่อ ทั้งสองสมาชิก a+1 และ a-1 เป็นสมาชิกของ S และให้ I(S) แทนเซตของช่องว่างเอกเทศของ
S ทั้งหมด และกล่าวว่า S เป็น กึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ (perfect numerical semigroup) ก็ต่อเมื่อ I(S) เป็นเซตว่าง หรือจะกล่าวอีกนัยหนึ่งว่า S
ไม่มีช่องว่างเอกเทศ ในปี ค.ศ. 2019 แนวคิดของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์มีการศึกษาครั้งแรกในงานวิจัยของ Moreno และ Rosales [1] ซึ่งพวกเขา
นําเสนอแนวคิดอันดับบนกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ เพื่อสร้างวิธีการคํานวณสูตรต่าง ๆ ในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ และในปี ค.ศ. 2020 Moreno
และ Rosales [2] ได้ระบุลักษณะกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ของการฝังสามมิติ และสร้างสูตรคํานวณจีนัส (genus) และจํานวนโฟรบีเนียสเทียม
(pseudo-Frobenius numbers) ในปี ค.ศ. 2021 Smith ได้ศึกษาสมบัติพื้นฐานของช่องว่างเอกเทศ และสาธิตวิธีการอย่างง่ายในการสร้างกึ่งกรุป
เชิงตัวเลขสมบูรณ์ของการฝังสามมิติ เริ่มจากกึ่งกรุปเชิงตัวเลขของการฝังสองมิติและหาช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุด แล้วนําช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดไป
เพิ่มในเซตก่อกําเนิดของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขของการฝังสองมิติ จึงเกิดเป็นกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ของการฝังสามมิติ นอกจากนี้ ยังพิสูจน์ว่าช่องว่าง
เอกเทศค่าน้อยสุดของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขที่ก่อกําเนิดโดย a และ a+1 คือ จํานวนโฟรบีเนียส ในโครงการวิจัยฉบับนี้สนใจศึกษากึ่งกรุปเชิงตัวเลขของ
การฝังสองมิติ และหาสูตรในการคํานวณค่าของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขของการฝังสองมิติ เพื่อสร้างกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์
ของการฝังสามมิติ |
| จุดเด่นของโครงการ : | โครงการวิจัยนี้มีจุดเด่นที่สำคัญคือ การศึกษาปัญหาทางพีชคณิตเชิงทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับกึ่งกรุปเชิงตัวเลข ซึ่งเป็นหัวข้อที่มีความสำคัญในทฤษฎีจำนวนและพีชคณิตเชิงสับเปลี่ยน โดยมุ่งเน้นการศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ ซึ่งเป็นประเด็นที่ยังมีการศึกษาไม่มากนักในงานวิจัยปัจจุบัน นอกจากนี้ โครงการยังมุ่งพัฒนาสูตรสำหรับการคำนวณช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุด ซึ่งจะช่วยให้สามารถอธิบายโครงสร้างของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขได้อย่างเป็นระบบมากยิ่งขึ้น
อีกทั้งผลการวิจัยยังสามารถนำไปใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ที่มีมิติการฝังสาม ซึ่งเป็นหัวข้อที่ได้รับความสนใจในงานวิจัยด้านพีชคณิตและทฤษฎีจำนวนในระดับนานาชาติ นอกจากประโยชน์เชิงวิชาการแล้ว โครงการยังมีการถ่ายทอดองค์ความรู้สู่การเรียนการสอนในระดับมหาวิทยาลัย และส่งเสริมการพัฒนานักวิจัยรุ่นใหม่ รวมทั้งสร้างเครือข่ายความร่วมมือทางวิชาการด้านคณิตศาสตร์ในระดับภูมิภาค
ดังนั้น โครงการวิจัยนี้จึงมีความโดดเด่นทั้งในด้านการสร้างองค์ความรู้ใหม่ทางคณิตศาสตร์ การต่อยอดงานวิจัยสู่ระดับสากล และการนำผลการวิจัยไปใช้ประโยชน์ทางการศึกษาและการพัฒนาบุคลากรทางวิชาการต่อไป |
| วัตถุประสงค์ของโครงการ : | 1. เพื่อศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
2. เพื่อพัฒนาสูตรในการคำนวณค่าของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
3. เพื่อถ่ายทอดองค์ความรู้ด้านโครงสร้างทางพีชคณิตของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสู่การเรียนการสอนและการพัฒนาบุคลากรทางการศึกษา
4. เพื่อสร้างเครือข่ายนักวิจัยด้านพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน |
| ขอบเขตของโครงการ : | โครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ |
| ผลที่คาดว่าจะได้รับ : | 1. ด้านวิชาการ
1.1 ได้องค์ความรู้ใหม่ที่แสดงให้เห็นถึงโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
1.2 ได้ผลงานตีพิมพ์ในวารสารระดับนานาชาติ
1.3 ผลิตนักวิทยาศาสตร์รุ่นใหม่เพื่อตอบสนองความต้องการของประเทศในอนาคต ผ่านการเป็นผู้ช่วยวิจัย
2. ผู้ที่จะได้รับประโยชน์จากโครงการ
2.1 นักศึกษาหลักสูตรวิทยาศาสตรบัณฑิต (คณิตศาสตร์) ผ่านการเรียนการสอนในรายวิชาพีชคณิตนามธรรม
และทฤษฎีเซต
2.2 นักศึกษาหลักสูตรวิทยาศาสตรมหาบัณฑิต (การสอนคณิตศาสตร์) ผ่านการเรียนการสอนในรายวิชาทฤษฎีจํานวนและพีชคณิต
สําหรับครู นักเรียน นักศึกษา และบุคลากรทางการศึกษา ในเขตพื้นที่จังหวัดนครสวรรค์ และอุทัยธาน |
| การทบทวนวรรณกรรม/สารสนเทศ : | - |
| ทฤษฎี สมมุติฐาน กรอบแนวความคิด : | 1. ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตกึ่งกรุป
2. ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
3. ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
4. ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ |
| วิธีการดำเนินการวิจัย และสถานที่ทำการทดลอง/เก็บข้อมูล : | 1. ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตกึ่งกรุปเชิงตัวเลข
2. ศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
3. สร้างสูตรในการคํานวณช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ
4. อภิปรายผลการดําเนินการวิจัย และปรับปรุงแก้ไข
5. เตรียมต้นฉบับและส่งตีพิมพ์ผลงานเผยแพร่
6. ถ่ายทอดองค์ความรู้ของโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติให้นักเรียน นักศึกษา และ
บุคลากรทางการศึกษา ในเขตพื้นที่จังหวัดนครสวรรค์ และอุทัยธานี
7. ฝึกอบรมผู้ที่สนใจศึกษางานวิจัยด้านโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติเพื่อเป็นนักวิจัยต่อไป
|
| คำอธิบายโครงการวิจัย (อย่างย่อ) : | โครงการวิจัยนี้มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติ โดยกึ่งกรุปเชิงตัวเลขเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญในทฤษฎีจำนวนและพีชคณิตเชิงสับเปลี่ยน การศึกษาช่องว่างเอกเทศของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขจะช่วยให้เข้าใจโครงสร้างและสมบัติของกึ่งกรุปเชิงตัวเลขได้อย่างลึกซึ้งมากยิ่งขึ้น
การวิจัยนี้มุ่งศึกษากึ่งกรุปเชิงตัวเลขที่ก่อกำเนิดโดยจำนวนเต็มสองจำนวน และวิเคราะห์โครงสร้างของช่องว่างเอกเทศ โดยเฉพาะช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุด รวมทั้งพัฒนาสูตรสำหรับคำนวณค่าดังกล่าว โดยใช้แนวคิดและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง เช่น ขั้นตอนวิธีการหาร และทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน ผลการศึกษาคาดว่าจะช่วยอธิบายโครงสร้างทางพีชคณิตของช่องว่างเอกเทศค่าน้อยสุดในกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสองมิติได้อย่างเป็นระบบ และสามารถนำไปใช้เป็นพื้นฐานในการสร้างกึ่งกรุปเชิงตัวเลขสมบูรณ์ที่มีมิติการฝังสาม
นอกจากนี้ โครงการยังมุ่งเผยแพร่องค์ความรู้ทางคณิตศาสตร์ผ่านการตีพิมพ์ผลงานวิจัยในวารสารวิชาการระดับนานาชาติ และถ่ายทอดองค์ความรู้สู่การเรียนการสอน รวมทั้งส่งเสริมการพัฒนานักวิจัยรุ่นใ |
| จำนวนเข้าชมโครงการ : | 6 ครั้ง |